Markdownで数式を書く練習2
昨日の続きです。
問3. 確率変数 X の期待値の表現として適切な式を示せ。ただし、確率変数 Z の確率密度関数を fz とする。
これも解説見てしまいました。
- 微分すると fz = fx になる
- 確率密度関数を全区間で定積分すると期待値になる
の2つがポイントで、求める式は
\[ \int_{0}^{100}zfz(z)dz \]
になるようです。ウーン、わかったようなわからんような。
つぎ。
ある選挙において、100人の投票者に出口調査を行なったところ、A候補に投票した人は54人であった。出口調査は単純無作為抽出に基づくとし、二項分布は近似的に正規分布に従うとする。A候補の得票率の95%信頼区間を求めよ。
これも解説を見てしまいました。0.54を不偏推定量として分散を求めてなんだかんだするのかなと思ったのですが、母比率の信頼区間を求める公式というのがあるそうです。
\[ \hat{p}\pm{1.96}\times\sqrt{\frac{\hat{p}\times(1-\hat{p})}{n}} = 0.54 \pm {0.098} \]
なるほどわからん。
なぜか肩が痛いので、今日はここまで。
July 25, 2020, midnight
数式込みの文書を書いてみる
さて、今朝はGitのフックを使ってみた話をしました。
では次に、数式込みの文書をMarkdownで書いてみたいと思います。
まずどう書くか、次になにを書くか、というふうに進めていきたいと思います。
どう書くか
katexというライブラリがあるそうです。 （参考：KaTeX による数式の表示 - Qiita）
たとえば、初項1、公差1な単調増加数列aがあるとして、50項目までの総和を求める式を書いてみます。
javascriptファイルを読み込んだうえで、同htmlファイルに下記のように書くと
\\[
\\sum_{i=1}^{50}a_{i} = \\frac{1+50}{2} \\times 50 = 1275
\\]下記のように描画されます。
\[ \sum_{i=1}^{50}a_{i} = \frac{1+50}{2} \times 50 = 1275 \]
お手軽かつ美しく数式をかけることがわかりました。
Latex記法ってエスケープシーケンスが多すぎるなと思って忌避していたのですが、自分で書いてみると大して煩雑でもないですね。
なにを書くか
htmlファイル上に数式をかけることはわかったけれど、日頃そんなに数式を書きたいことってあるのかね、と思ったそこのあなたは正しくて、僕も普段はそこまで数式を書きたくなることはありません。
ただ最近に限っては、なぜか数学の問題集を解いたりしているので、そのあたりのことがかけてしまったりなんだりするのです。ビバ・大人になってからの高校数学。
昨日解けなかったのは、下記のような問題でした
正値確率変数 Z の分布関数 Fz は、連続かつ任意の 0 < x < y に対して Fz(x)<Fz(y) を満たすとし, Fz(5)=0.91, Fz(50)=0.95, Fz(100)=0.96 とする。また, 確率変数 X を
\[ X = \begin{cases} Z &(Z \le 100) \\ 0 &(Z > 100) \end{cases} \]
で定め，X の分布関数を Fx とする。
問2. 確率変数 X の下側95%点はいくらか。
まず分布関数という名前で面食らい、次に下側95%点という言葉で面食らい、これから様々なことを学べそうな予感がしますね、という感じでした（無理やりポジティブ）
さて、調べてみたところ、分布関数というのは（条件からある程度察せますけれど）累積分布関数と同義語のようです。
累積分布関数とは、ある確率変数 X があり、確率変数 X が x を取る確率を確率関数 p(x) であらわせるとき、確率変数 X が x 以下の値を取る確率の和のことです。
たとえば、サイコロを振ったときの累積分布関数を F とし、F(3) の値は
\[ F(3) = p(1) + p(2) + p(3) = \frac{1}{2} \]
となり、これはサイコロの目が3以下を取る確率と一致します。
値が離散であるか連続であるかとかを気にし始めると細かい名称分けが発生する気がしますが、現在の僕の理解はそんな感じです。
次にパーセント点について。
上側確率、下側確率、両側確率、パーセント点 - 具体例で学ぶ高校数学
確率変数 X がある値より大きくなる確率のことを上側確率、確率変数 X がある値より小さくなる確率のことを下側確率というそうです。
さきほどのサイコロの例でいうと、x が3のときの下側確率は(境界がよくわかりませんが)2分の1と言えそうです。
ようするに、下側確率と累積分布関数はだいたい同じもので、1 − 下側確率 = 上側確率 な気がします。境界のことを気にしていると分けたくなるのでしょうね。
今まで説明した累積分布関数、下側確率、上側確率はすべて確率変数 X がある値を取ったときに従属するものでした。
確率と確率変数の主従を入れ替えたものがパーセント点であるようで、サイコロの例でいうと下側確率が50%であるとき、確率変数はなんの値をとっているか、という値に該当します。3ですね。
さて、問に戻って、解説見てしまったのでなんかもう「やるだけやん」としか言えない気もしてきましたが、これは問1が誘導になっていて、与えられている分布関数 Fz に0.04を足すと Fx が求められることを先に示されます。
これを利用して Fx(5)=Fz(5)+0.04 = 0.95 で答えは5、というふうに求まるようです。なるほどですね。
長くなってきたので、今日はこのあたりでおしまいにします。
他にも解けなかった問題があるので、しばらくはそのあたりのことを書いていく予定です。またね。
July 24, 2020, noon
20200724
みなさんこんばんは、はじめましての方ははじめまして。
インターネットに数人居るとか居ないとか言われている熱狂的なケロベロッテファンのみなさんはおひさしぶりです。居ないか。
少し試したいことができたので、Webサイトをご覧のような有様に整理しました。
試したいことというのはたとえば下記のようなことがらたちです。
- Gitのフックを試してみたかった
- Markdown記法に慣れたい
- 数式込みの文書をMarkdownで書いてみたい
- 気軽に何かを作って公開する流れを作りたかった
- (4ににているけれど)作ったものを統括的に管理できる場所が欲しくなった
- 余裕ができたので近況をどこかに書きたくなった
1に関してはさっきやってみました。
このみなさんの脳内をナメクジが這いまわるような錯覚を覚える文書はGitのフックという仕組みを利用して公開しています。だからなんだって話ですね、わかる。
July 24, 2020, midnight